Một dấu hiệu hội tụ có liên quan, cũng gọi là dấu hiệu Abel có thể được sử dụng để thiết lập sự hội tụ của một chuỗi lũy thừa trên biên của đường tròn hội tụ của nó. Cụ thể, dấu hiệu Abel khẳng định rằng nếu một dãy số thực dương ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} đơn điệu giảm (hay ít nhất là với mọi n lớn hơn một số tự nhiên m, ta có a n ≥ a n + 1 {\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}} ) và

lim n → ∞ a n = 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}

thì chuỗi lũy thừa

f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ a n z n {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}

hội tụ ở mọi nơi trên đường tròn đơn vị đóng, ngoại trừ z = 1. Dấu hiệu Abel không áp dụng khi z = 1, vì thế sự hội tụ ở điểm đó phải được xét riêng. Chú ý rằng dấu hiệu Abel ngụ ý riêng rằng bán kính hội tụ ít nhất bằng 1. Nó cũng có thể được áp dụng với một chuỗi lũy thừa với bán kính hội tụ R ≠ 1 bởi một phép đổi biến đơn giản ζ = z/R.[1] Chú ý rằng dấu hiệu Abel là một tổng quát hóa của tiêu chuẩn Leibniz khi cho z = −1.

Chứng minh dấu hiệu Abel phức: Giả sử rằng z là một điểm trên đường tròn đơn vị và z ≠ 1. Với mỗi n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} , ta định nghĩa dãy hàm

f n ( z ) := ∑ k = 0 n a k z k . {\displaystyle f_{n}(z):=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}.}

Nhân dãy hàm số này với (1 − z), ta có được

( 1 − z ) f n ( z ) = ∑ k = 0 n a k ( 1 − z ) z k = ∑ k = 0 n a k z k − ∑ k = 0 n a k z k + 1 = a 0 + ∑ k = 1 n a k z k − ∑ k = 1 n + 1 a k − 1 z k = a 0 − a n z n + 1 + ∑ k = 1 n ( a k − a k − 1 ) z k . {\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)f_{n}(z)&=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(1-z)z^{k}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k+1}=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}z^{k}-\sum _{k=1}^{n+1}a_{k-1}z^{k}\\&=a_{0}-a_{n}z^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k-1})z^{k}.\end{aligned}}}

Số hạng đầu tiên là hằng số, số hạng thứ hai hội tụ đếu đến 0 (vì theo giả thiết ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} hội tụ đến 0). Ta chỉ còn cần chứng tỏ rằng số hạng chuỗi hội tụ, bằng cách cho thấy nó hội tụ tuyệt đối: ∑ k = 1 ∞ | ( a k − a k − 1 ) z k | = ∑ k = 1 ∞ | a k − a k − 1 | ⋅ | z | k ≤ ∑ k = 1 ∞ ( a k − 1 − a k ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left|(a_{k}-a_{k-1})z^{k}\right|=\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}-a_{k-1}|\cdot |z|^{k}\leq \sum _{k=1}^{\infty }(a_{k-1}-a_{k})} , trong đó tổng cuối là một tổng rút hội tụ. Giá trị tuyệt đối được bỏ đi vì dãy ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} đơn điệu giảm theo giả thiết.

Vì thế, dãy hàm ( 1 − z ) f n ( z ) {\displaystyle (1-z)f_{n}(z)} hội tụ (và còn hội tụ đều) trên đĩa đơn vị đóng. Nếu z ≠ 1 {\displaystyle z\not =1} , ta có thể chia cho (1 − z) để có kết quả cần chứng minh.